有限数学示例

$y = 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9$

解题步骤 1

将 $3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9$ 设为等于 $0$ 。

$3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$- 8 x^{3} + 24 x + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $- 8 x^{3} + 24 x$ 中分解出因数 $- 8 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $- 8 x^{3}$ 中分解出因数 $- 8 x$ 。

$- 8 x \cdot x^{2} + 24 x + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从 $24 x$ 中分解出因数 $- 8 x$ 。

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 3 + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 3)$ 中分解出因数 $- 8 x$ 。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

解题步骤 2.1.3

从 $3 x^{4} - 6 x^{2} - 9$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

从 $3 x^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4}) - 6 x^{2} - 9 = 0$

解题步骤 2.1.3.2

从 $- 6 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4}) + 3 (- 2 x^{2}) - 9 = 0$

解题步骤 2.1.3.3

从 $- 9$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 x^{4} + 3 (- 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3 = 0$

解题步骤 2.1.3.4

从 $3 x^{4} + 3 (- 2 x^{2})$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4} - 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3 = 0$

解题步骤 2.1.3.5

从 $3 (x^{4} - 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4} - 2 x^{2} - 3) = 0$

解题步骤 2.1.4

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3) = 0$

解题步骤 2.1.5

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

解题步骤 2.1.6

使用 AC 法来对 $u^{2} - 2 u - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 2.1.6.2

使用这些整数书写分数形式。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ((u - 3) (u + 1)) = 0$

解题步骤 2.1.7

因数。

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解题步骤 2.1.7.1

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ((x^{2} - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

解题步骤 2.1.7.2

去掉多余的括号。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0$

解题步骤 2.1.8

从 $- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{2} - 3$ 。

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解题步骤 2.1.8.1

从 $- 8 x (x^{2} - 3)$ 中分解出因数 $x^{2} - 3$ 。

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0$

解题步骤 2.1.8.2

从 $3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{2} - 3$ 。

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (3 (x^{2} + 1)) = 0$

解题步骤 2.1.8.3

从 $(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (3 (x^{2} + 1))$ 中分解出因数 $x^{2} - 3$ 。

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 (x^{2} + 1)) = 0$

解题步骤 2.1.9

运用分配律。

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 x^{2} + 3 \cdot 1) = 0$

解题步骤 2.1.10

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 x^{2} + 3) = 0$

解题步骤 2.1.11

重新排序项。

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} - 3 = 0$

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$x^{2} = 3$

解题步骤 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 2.4

将 $3 x^{2} - 8 x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $3 x^{2} - 8 x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $a = 3$ 、 $b = - 8$ 和 $c = 3$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.2.3

化简。

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解题步骤 2.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.3.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.2.3.1.3

从 $64$ 中减去 $36$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.2.3.1.4

将 $28$ 重写为 $2^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.4.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.2.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

解题步骤 2.4.2.3.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.5

最终解为使 $(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

小数形式：

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, 2.21525043 \dots, 0.45141622 \dots$

解题步骤 4

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